Questão 1
FUVEST 2021
(FUVEST - 2021 - 2ª FASE)
São dados os pontos no plano cartesiano 𝑃1 = (3; 3), 𝑃2 = (5; 1), 𝑃3 = (3; −1) e 𝑃4 = (−2; 5).
a) Determine a equação da reta que passa por 𝑃3 e é paralela à reta que passa por 𝑃1 e 𝑃4.
b) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3.
c) Sendo 𝐶 a circunferência do item (b) e 𝑃 o ponto de intersecção de 𝐶 com o eixo 𝑂𝑥, que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a 𝐶 em 𝑃.
Gabarito:
Resolução:
a) Determine a equação da reta que passa por 𝑃3 e é paralela à reta que passa por 𝑃1 e 𝑃4.
Reta que passa por e
Vem:
Para encontrarmos a paralela a essa reta que passa pelo ponto , vem:
b) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3
Fica fácil visualizar através dos pontos que a Circunferência terá ,
e
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Para visualizar a circunferência basta ligar os pontos A e C e ver a formação da circunferência de raio = 2.
Portanto a equação é dada por:
c) Sendo 𝐶 a circunferência do item (b) e 𝑃 o ponto de intersecção de 𝐶 com o eixo 𝑂𝑥, que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a 𝐶 em 𝑃.
Para encontrarmos a intersecção de C com P temos de olhar a circunferência e seus ângulos:
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O ângulo de 120 graus foi obtido fazendo teorema dos cossenos.
Com:
Agora para encontrar o ponto em que a reta tangente toca o eixo y, basta fazermos:
Então nós ficamos com 2 pontos determinados:
e
E fazendo o par de equações chegamos a reta: