Questão 4

FUVEST 2016

Matemática

(FUVEST - 2016 - 2a FASE)

No plano cartesiano 0xy , a circunferência C tem centro no ponto p = (2,1), e a reta t é tangente a C no ponto Q = (-1,5)

a) Determine o raio da circunferência C.

b) Encontre uma equação para a reta t.

c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.

Gabarito:

Resolução:

Vamos desenhar a figura para uma melhor visualização:

a) O raio da circunferência é determinado encontrando a distância entre os pontos P e Q:

Utilizando os conceitos da geometria analítica, sabemos que o raio é o módulo do vetor formado pelos pontos P e Q:

$R = sqrt{left(-1-2 ight )^{2} + left(5-1 ight )^{2}}$

$R = 5$

b) Sendo $m_{0}$ o coeficiente angular da reta PQ, dado por:

$frac{5-1}{-1-2} = -frac{4}{3}$

sabemos que a reta t é perpendicular à reta PQ, logo:

$m = frac{3}{4}$

Utilizando o ponto Q:

$y - 5 = frac{3}{4}left(x + 1 ight )$

$3x - 4y + 23 = 0$

c) Lebrando de outro conceito: a área do triângulo pode ser determinada pelo determinante dos pontos que formam seus vértices divido por 2.

$frac{egin{bmatrix} 2 &1 &1 \ -1& 5 &1 \ -frac{23}{3}& 0 &1 end{bmatrix}}{2} = frac{125}{6}$

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