Questão 1

FUVEST 2016

Matemática

(FUVEST - 2016 - 2a FASE)

São dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são P₁,P₂ e P₃

Calcule, em função de r,

a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira;

b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto P₁,P₂ e P₃ aos dois vértices do triângulo T mais próximos a ele

Gabarito:

Resolução:

a) Para calcular o valor do lado do triângulo em função de r, vamos considerar os seguintes valores:

O lado l é dado pela soma de 2x + y.

Observe que o raio dos circulos passa pela bissetriz dos ângulos de 60° do triângulo.

Dessa forma, temos que:

$tan30= frac{r}{x}$ em que r é o raio das circunferências.

$x =frac{r}{tan30} = rsqrt{3}$

Como os cículos se tangenceiam, temos que:

$y = 2r$

Logo,

$L = 2x+y$

$L = 2rsqrt{3}+2r = 2rleft( sqrt{3}+1 ight)$

b) A área do hexagono será dada pela área do triângulo ABC subtraida das áreas dos triângulos AP1B, BP2C e CP3A

Vamos chamar de $A$ a área do triângulo equilátero , e de $a$ a área dos triângulos menores

A área do triângulo equilátero é dada por $frac{L^{2}sqrt{3}}{4}$

$A = frac{left [ 2r left(sqrt{3}+1 ight ) ight ]^{2}sqrt{3}}{4}$

$A = r^{2}left(4+2sqrt{3} ight )sqrt{3}$

As áreas a são dadas por $frac{L.r}{2}$ , em que r é o raio das circunferências.

$a = frac{2rleft(sqrt{3} + 1 ight ) r}{2}$

$a = r^{2}left(sqrt{3} + 1 ight )$

$A - a = r^{2}left(4+2sqrt{3} ight )sqrt{3} - 3. r^{2}left(sqrt{3} +1 ight )$

$A - a = r^{2}left(4sqrt{3} + 6 - 3sqrt{3} - 3 ight )$

$A - a = r^{2}left(sqrt{3} +3 ight )$

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