Questão 6

FUVEST 2016

Matemática

(FUVEST - 2016 - 1a FASE) No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x² e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

2+2sqrt{2}

Gabarito:

2+2sqrt{2}

Resolução:

Com os dados da questão, podemos desenhar a circunferência e sua posição em relação às retas $x=0$ (o eixo y) e à reta $y=x$ . A partir disso, e utilizando-se de relações geométricas, definimos que o $Delta PBA$ e o $Delta OCA$ são triângulos retângulos isósceles:

Lembrando que o ponto P obedece à lei da parábola $y=x^2$ , então $b=a^2$ .

De modo a calcular $b$ , calculamos a medida do segmento de reta $overline{PC}=overline{PA} + overline{AC}$ .

$overline{PA}$ é a hipotenusa do $Delta PBA$ , então: $(overline{PA})^2 = a^2 +a^2: Rightarrow : overline{PA}=asqrt{2}$

Conforme o desenho, $overline{AC}=a$

$b=asqrt{2}+a: Rightarrow : a^2=a(sqrt{2}+1): Rightarrow : a=sqrt{2}+1$

Como $b=a^2$ :

$b=(sqrt{2}+1)^2: Rightarrow : b=3+2sqrt{2}$

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