Questão 52

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST - 2015) Dadas as sequências e , definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:

I. a_n é uma progressão geométrica;

II. b_n é uma progressão geométrica;

III. c_n é uma progressão aritmética;

IV. d_n é uma progressão geométrica.

São verdadeiras apenas

I, II e III.

I, II e IV.

I e III.

II e IV.

III e IV.

Gabarito:

III e IV.

Resolução:

I) $a_n = n^2 + 4n + 4$

$n = 1 ightarrow a_1 = 1^2 + 4cdot1 + 4 = 9$

$n = 2 ightarrow a_2 = 2^2 + 4cdot2 + 4 = 16$

$n = 3 ightarrow a_3 = 3^2 + 4cdot3 + 4 = 25$

$frac{a_3}{a_2} eq frac{a_2}{a_1}$

Logo, $a_n$ não é uma P.G.

II) $b_n = 2 ^{n^{2}}$

$n = 1 ightarrow b_1= 2^{1^{2}}=2^1$

$n = 2 ightarrow b_2= 2^{2^{2}}=2^4$

$n = 3 ightarrow b_3= 2^{3^{2}}=2^9$

$frac{b_3}{b_2} eq frac{b_2}{b_1}$

Logo, $b_n$ não é uma P.G.

III) $c_n= a_{n+1}-a_n$

$c_n= (n+1)^2 + 4(n+1)+4 - n^2 - 4n - 4$

$c_n= n^2 + 2n + 1 + 4n + 4 - n^2 - 4n$

$c_n= 2n + 1 + 4 = 2n + 5$

O que é uma P.A., de primeiro termo 7 e razão 2.

IV) $d_n = frac{b_{n+1}}{b_n}$

$d_n = frac{2^{(n+1)^{2}}}{2^{n^{2}}}$

$d_n = frac{2^{n^2 + 2n + 1}}{2^{n^2}}$

$d_n = 2^{2n+1}$

Que é uma P.G. de razão $2^2$ e primeiro termo $2^3$ .

Alternativa E.

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