Questão 45

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST - 2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

120

150

180

Gabarito:

150

Resolução:

Podemos considerar a trajetória uma parábola e escrever sua equação:

Como queremos determinar a altura do penhasco, pelo gráfico, é análogo a encontrar $f(0)$ .

Como sabemos que uma das raízes é $x=30$ e que o vértice se encontra em $x=10$ , simetria, temos que a outra raiz está em $x=-10$ .

Sendo assim,

$f(x)=ax^2+bx+c$

Pela coordenada x do vértice:

$X_v=frac{-b}{2a}=10 ightarrow b=-20a$

Pela coordenada y do vértice:

$Y_v=frac{-Delta }{4a}=frac{-[(-20a)^2-4*a*c]}{4a}=200$

$frac{400a^2-4ac}{4a}=frac{4a(100a-c)}{4a}=-200$

$(I): 100a-c=-200$

Como $f(-10)=0$ :

$(I): a(-10)^2+(-20a)(-10)+c=0$

$(II): 300a+c=0$

Com as equações (I) e (II), temos um sistema de equações lineares. Para resolvê-lo, basta multiplicar (I) por 3 e subtrai-las:

$egin{matrix} 300a-3c=-600\300a+c=0 end{matrix}$

Logo, ficamos com:

$-4c=-600$

$c=150$

Como queremos $f(0)$ :

$f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c=150$

Questões relacionadas

Questão 46

(FUVEST - 2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou me...

Ver questão

Questão 52

(FUVEST - 2015) Dadas as sequências e , definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações: I. an é uma progressão geo...

Ver questão

Questão 50

(Fuvest 2015) No sistema linear nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:

Ver questão

Questão 49

(FUVEST - 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE =...

Ver questão