Questão 6

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST - 2015 - 2 FASE)

Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento ݊, ݊n, $ngeq$ 1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #**# é uma palavra de comprimento 4.

Usando esse alfabeto minimalista,

a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?

b) qual é o menor valor de ܰn para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a n?

Gabarito:

Resolução:

Perceba que uma palavra de comprimento 1, admite 2¹ palavras.

Uma palavra de comprimento 2 admite 2² palavras.

Uma palavra de comprimento 3, admite 2³ palavras e assim por diante...

Logo, para um comprimento igual a N, teremos 2^Npalavras.

a) O número de palavras de comprimento menor que 6 é dado por:

$2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} = frac{2 cdot (2^{5}-1)}{2-1} = 62$

$2 + 2^{2} + 2^{3} + cdots + 2^{N} > 1.000.000$

$frac{2 cdot (2^{N}-1)}{2-1} > 1.000.000$

$2^{N} > 500.001$

Observe que $2^{18} = 2^{10} cdot 2^{8} = 1024 cdot 256 = 262.144$

$2^{19} = 2^{10} cdot 2^{9} = 1024 cdot 512 = 524.288$

Logo, o menor valor de N é 19.

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