Questão 1

FUVEST 2015

Matemática

(FUVEST - 2015 - 2 FASE)

Na figura, na página de respostas, a circunferência de centro em 0 ܱ e raio r tangencia o lado $overline{BC}$ do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta $overline{AB}$ no ponto E .Os pontos A,D e ܱ0 são colineares, AD = 2r e o ângulo $widehat{AC0}$ ܱé reto. Determine, em função de r,

a) a medida do lado $overline{AB}$ do triângulo ABC;

b) a medida do segmento $overline{C0}$ .

Gabarito:

Resolução:

Aplicando Pitágoras em AEO:

$(AE)^{2} + r^{2} = (3r)^{2}$

$AE = 2sqrt{2}r$

Aplicando cosseno em $alpha$ :

$cos alpha = frac{AE}{AO} = frac{2sqrt{2}r}{3r}$

$cosalpha = frac{2sqrt{2}}{3}$

No triângulo ADB:

$cosalpha = frac{AD}{AB}$

$frac{2sqrt{2}}{3} = frac{2r}{AB}$

$AB = frac{3r}{sqrt{2}}$

$AB = frac{3sqrt{2}}{2}r$

No triângulo ACO, temos que:

$(CO)^{2} = (AO) cdot (DO)$

$(CO)^{2} = 3r cdot r$

$CO = rsqrt{3}$

Portanto:

a) $AB = frac{3sqrt{2}}{2}r$

b) $CO = rsqrt{3}$

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