Questão 47

FUVEST 2015

Matemática

(Fuvest 2015) A equação x² + 2x + y² + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = -x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (-3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,

-4 e 3

4 e 5

-4 e 2

-2 e 4

2 e 3

Gabarito: -4 e 3

Resolução:

Passando a expressão dada que representa a circunferencia para a forma geral, ou seja, $(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = R^2$ , onde $(x_c,y_c)$ é a coordenada do centro da circunferecia, temos que:

$x^2 + 2x + y^2 + my = n ightarrow (x+1)^2 +(y+frac{m}{2})^2 = n +1 +frac{m^2}{4}$

Dessa expressão tiramos que o centro da circunferencia é igual a $left ( -1,-frac{m}{2} ight )$ , como a questão nos fala, esse ponto pertence à reta $y = -x+1$ , susbtituindo as coordenadas encontradas, ficamos com:

$frac{-m}{2} = -(-1) +1$

$m = -4$

Logo, a expressão geral para a circunferencia é $(x+1)^2 +(y-2)^2 = n +2$ , usando agora o fato de que o ponto $(-3,4)$ pertence a circunferencia:

$(-3+1)^2 +(4-2)^2 = n +5$

$4 +4 = n +25 ightarrow n =3$

Portanto, a alternativa correta é a LETRA A.

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