Questão 16
FUVEST 2012
(FUVEST - 2012) (2ª FASE)
Considere a função , cujo domínio é o intervalo fechado
e que está definida pelas condições:
- para
, tem-se
;
- para
, tem-se
;
é linear no intervalo
e também no intervalo
, conforme mostra a figura ao lado;
- a área sob o gráfico de
é o triplo da área sob o gráfico de
.
Com base nessas informações,
a) desenhe, no sistema de coordenadas indicado na página de resposta, o gráfico de no intervalo
;
b) determine a área sob o gráfico de no intervalo
;
c) determine .
Gabarito:
Resolução:
Pelo enunciado, teremos:
• para 0 x 1, tem-se f(x) = 3x + 1;
• para 1 x 2, tem-se f(x) = –2x + 6.
Portanto, o gráfico, para , é dado por:
b)
Temos que a área S da região delimitada pelo gráfi co de f e o eixo x, no intervalo [0, 2], é dada pela soma das áreas dos trapézios ABCD e CDEF. Logo:
c)
Considerando o crescimento linear entre os pontos [2, 4] e [4, 5], temos, do item anterior, que a área sob o gráfico de f, em [0, 2], é . Pelo enunciado sabemos que que a área sob o gráfico de f, em [2, 5], é
Sendo y = f(4),a área é dada pela soma da área de um trapézio de bases 2 e y e altura 2 com a área de um triângulo de base 1 e altura y. Portanto
/: