Questão 68

FUVEST 2012

Matemática

(Fuvest - 2012) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação

, em que

é um número real positivo,

é dado em anos

é a massa da substância em gramas e

são constantes positivas. Sabe-se que

gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de

ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?

10%

Gabarito: 4%

Resolução:

A substância é radioativa e uma propriedade de substâncias radioativas é que estas sofrem um processo de desintegração (que na maioria das vezes duram anos).

A equação que traduz essa desintegração é dada no enunciado:

$mleft(t ight )=ccdot a^{-kt}$

Vamos dizer que para $t=0$ , $mleft(t=0 ight )=m_0$ , logo, $mleft(t ight )=ccdot a^{-kt}Rightarrow mleft(t=0 ight )=m_0=ccdot a^{-kcdot0}=ccdot1Rightarrow c = m_0$ .

Com isto, a equação fica assim:

$mleft(t ight )=m_0cdot a^{-kt}$

Em 10 anos a substância reduz a 20%, ou seja, para $t=10,anos$ , a massa $mleft(t =10 ight )$ é 20% da massa inicial, $m_0$ , logo:

$mleft(t=10 ight )=m_0cdot20\%Rightarrow mleft(t=10 ight )=0,20cdot m_0$ . Lembrando da equação $mleft(t ight )=m_0cdot a^{-kt}$ , temos:

$mleft(t=10 ight )=m_0cdot a^{-kcdot10}=frac{m_0}{a^{10cdot k}}=0,20cdot m_0Rightarrow a^{10cdot k}=frac{m_0}{0,20cdot m_0}Rightarrow$

$Rightarrow a^{10k}=frac{1}{0,20}=5Rightarrow a=left(5 ight )^{frac{1}{10k}}$

Substituindo esse valor de $a$ na equação de desintegração:

$mleft(t ight )=m_0cdot a^{-kt}=m_0cdotleft[left(5 ight )^{frac{1}{10k}} ight ]^{-kt}=m_0cdotleft(5 ight )^{frac{-kt}{10k}}=m_0cdotleft(5 ight )^{frac{-t}{10}}$

A questão nos pede a por centagem a qual a massa $m_0$ ficará reduzida passados 20 anos:

$mleft(t ight )=m_0cdotleft(5 ight )^{frac{-t}{10}}Rightarrow mleft(t =20 ight )=m_0cdotleft(5 ight )^{frac{-20}{10}}=m_0cdotleft(5 ight )^{-2}Rightarrow$

$Rightarrow mleft(t =20 ight )=m_0cdotfrac{1}{25}Rightarrow mleft( t=20 ight )=frac{1cdot4}{25cdot4}cdot m_0=frac{4}{100}cdot m_0 = 4\%cdot m_0$

Logo, a massa após 20 anos de desintegração se reduz a 4% de $m_0$ .

A Letra C é correta.

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