Questão 62

FUVEST 2012

Matemática

(Fuvest - 2012) Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a

315

320

325

330

335

Gabarito: 320

Resolução:

Nós temos $6$ termos:

$left ( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6} ight )$

Soma dos ângulos internos de um polígono de $6$ lados:

$(n-2)cdot 180$

$(6-2)cdot 180$

$4cdot 180=720^{o}$

Daí vem: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=720^{o}$

Dos dados da questão, vem:

$a_{1}+5r=11cdot a_{1}$

$10cdot a_{1}=5cdot r$

$r=2cdot a_{1}$

Daí temos que:

$a_{1}+3a_{1}+5a_{1}+7a_{1}+9a_{1}+11a_{1}=720^{o}$

$36a_{1}=720^{o}$

$a_{1}=20^{o}$

Como ele quer a soma dos quatro menores, vem:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$

$a_{1}+3a_{1}+5a_{1}+7a_{1}$

$20^{o}+3cdot 20^{o}+5cdot 20^{o}+7cdot 20^{o}=16cdot 20^{o}={color{Red} 320^{o}}$

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