Questão 5

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010 - 2 fase - Questão 5)

Determine a solução (x,y, y > 1), para o sistema de equações:

$\ log_{y} left (9x - 35 ight ) = 6 \ log_{3y} left (27x - 81 ight ) = 3$

Gabarito:

Resolução:

$left{egin{matrix} log_{y}(9x-35)=6\ log_{3y}(27x-81)=3 end{matrix} ight. Leftrightarrow$ $left{egin{matrix} 9x-35=y^{6}\ 27x-81=(3y)^{3} end{matrix} ight.Leftrightarrow$ $left{egin{matrix} 9x-35=y^{3^{2}}\ x-3=y^{3} end{matrix} ight.Leftrightarrow$ $left{egin{matrix} 9x-35=(x-3)^{2}\ y^{3}=x-3 end{matrix} ight.Leftrightarrow$ $left{egin{matrix}x^{2}-15x+44=0\ y^{3}=x-3 end{matrix} ight.Leftrightarrow$ $left{egin{matrix}x=4: ou: x=11\ y^{3}=x-3 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix}x=4\ y=1 end{matrix} ight.: ou: left{egin{matrix}x=11\ y=2 end{matrix} ight.Leftrightarrowleft{egin{matrix} x=11\ y=2 end{matrix} ight.$ , pois x=11 e y=2 irá satisfazer as condições de existência dos logaritmos.

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