Questão 72

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale

63/25

12/5

58/25

56/25

11/5

Gabarito:

63/25

Resolução:

Resolução 1:

1) Interpretando o enunciado:

2) Como os triângulos ABC e BDE são semelhantes, temos que:

2.1) $frac{overline{AB}}{overline{AC}}=frac{overline{DB}}{overline{DE}}$

$frac{4}{5}=frac{overline{DB}}{frac{3}{2}}$

$overline{DB}=frac{6}{5}$

2.2) $frac{overline{BC}}{overline{AC}}=frac{overline{BE}}{overline{DE}}$

$frac{3}{5}=frac{overline{BE}}{frac{3}{2}}$

$overline{BE}=frac{9}{10}$

3) Como $overline{AB}=overline{DB}+overline{AD}$

$overline{AD}=frac{14}{5}$

4) Como $overline{AC}=overline{AF}+overline{FC}$

$overline{AF}=frac{7}{2}$

5) Como ABC e ADF são semelhantes, temos que:

$frac{overline{DF}}{overline{AD}}=frac{overline{BC}}{overline{AB}}$

$frac{overline{DF}}{frac{14}{5}}=frac{3}{4}$

$overline{DF}=frac{21}{10}$

6) Logo,

7) A área do paralelogramo DFEC pode ser calculada de duas maneiras:

7.1)

A área do triângulo ABC subtraída da área dos triângulos DBE e ADF

$frac{4 cdot 3}{2}-frac{frac{6}{5} cdot frac{9}{10}}{2}-frac{frac{14}{5} cdot frac{21}{10}}{2}=frac{63}{25}$

7.2)

Via base vezes altura:

A altura será DB e a base será EC, logo a área será:

$frac{6}{5} cdot frac{21}{10} = frac{63}{25}$

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