Questão 3

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010 - 2 fase - Questão 3)

Seja n um número inteiro, n ≥ 0.

a) Calcule de quantas maneiras distintas ݊n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.

b) Calcule de quantas maneiras distintas ݊n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.

c) Considere, agora, um número natural ݇ tal que 0 ≤ k ≤ n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a ݇k.

Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

Gabarito:

Resolução:

Realizar o cálculo de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio é equivalente a calcular o número de soluções da equação:

$X_{L}+X_{A}=n$ $(I)$

Sendo $X_{L}$ e $X_{A}$ as quantidades não negativas de bolas ganhas por Luís e Antônio, respectivamente. O número de soluções inteiras não negativas da equação (I) é:

$egin{pmatrix} n+2-1\ 2-1 end{pmatrix}$ $=egin{pmatrix} n+1\ 1 end{pmatrix}=n+1$

Definiremos $X_{P}$ como a quantidade de bolas adquiridas por Pedro, tendo a seguinte equação:

$X_{L}+X_{A}+X_{P}=n$ $(II)$

Em que o número de soluções inteiras não negativas é dado por :

$egin{pmatrix} n+3-1\ 3-1 end{pmatrix}$ $=egin{pmatrix} n+2\ 2 end{pmatrix}=frac{(n+2).(n+1)}{2}$

A quantidade ganha por Pedro será maior ou igual a $k$ , vamos definir $y_{p}=x_{p}-k$ como a quantidade de bolas a mais que $k$ que ele conseguiu ganhar, de mod o que $y_{p}$ seja inteiro não negativo. Portanto, fazendo a substituição de $x_{p}=y_{p}+k$ em $(II)$ , obtemos:

$X_{L}+X_{A}+y_{P}=n-k$

Em que número de soluções inteiras não negativas é dado por:

$egin{pmatrix} n-k+3-1\ 3-1 end{pmatrix}=egin{pmatrix} (n-k+2)(n-k+1)\ 2 end{pmatrix}$ $=frac{(n+2).(n+1)}{2}$

Portanto a probabilidade pedida $(p)$ é dada por:

$p=frac{frac{(n-k+2)}{2}}{frac{(n+2)}{2}}$

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