Questão 75

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010 - 1 FASE ) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta $OC$

é perpendicular ao segmento $AB$ e o ângulo $AOB$ mede $frac{pi }{3}$ radianos. Então, a área do triângulo $Delta ABC$ vale:

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

Nós temos que o ângulo $AOB=frac{pi }{3}$

Então o ângulo $ACB=frac{pi }{6}$

E o ângulo formado pela bissetriz desse ângulo $ACB$

terá medida $frac{pi }{12}=15^{o}$

É proveitoso para nós calcularmos o lado $AC=BC=l$ desse triângulo, para, sequencialmente, calcularmos a área.

Mas primeiro vamos calcular o seno de $15^{o}$

$senleft ( 15^{o} ight )=senleft ( 45^{o}-30^{o} ight )=senleft ( 45^{o} ight )cdot cosleft ( 30^{o} ight )-senleft ( 30^{o} ight )cdot cosleft ( 45^{o} ight )=frac{sqrt{2}}{2}cdot frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{2}$

$senleft ( 15^{o} ight )=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{2}$

Aplicando trigonometria no triângulo para encontrar o valor de $l$ , vem:

$senleft ( 15^{o} ight )=frac{frac{a}{2}}{l}$

$l=frac{a}{sqrt{6}-sqrt{2}}$

$l=acdot left ( frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} ight )$

Agora para encontrar a área do triângulo basta utilizarmos da fórmula:

$SDelta =frac{1}{2}cdot acdot bcdot senleft ( alpha ight )$

Em que $a=b=l$

E que $alpha =frac{pi }{6}=30^{o}$

$SDelta =frac{1}{2}cdot lcdot lcdot senleft ( 30^{o} ight )$

$SDelta =frac{1}{2}cdot left [aleft (frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} ight ) ight ]^2cdot frac{1}{2}$

$SDelta =a^2cdot frac{left ( 6+2cdot sqrt{6}cdot sqrt{2}+4 ight )}{64}$

$SDelta =a^2cdot frac{left ( 10+4sqrt{3} ight )}{64}$

$SDelta =a^2cdot frac{left ( 10+4sqrt{3} ight )}{64}simeq frac{a^2}{4}$

Note que não foi encontrada o valor da área de forma exata igual a alternativa, mas sim um valor aproximado.

Não encontramos uma resolução que chegasse ao valor exato.

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