Questão 6

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010) No triângulo ABC da figura, a mediana $overline{AM}$ , relativa ao lado $overline{BC}$ , é perpendicular ao lado $overline{AB}$ . Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se α é a medida do ângulo $Awidehat{B}C$ , determine

a) sen α.

b) o comprimento AC.

c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB.

d) a área do triângulo AMC.

Gabarito:

Resolução:

ITEM A)

Se AM é mediana de BC, então:

$BM = MC = 2$

Logo, é imediato que $senalpha = frac{AM}{BM}Rightarrow senalpha = frac{1}{2}$

ITEM B)

Primeiramente calculamos AB, por:

$cosalpha = frac{AB}{BM}Rightarrow frac{sqrt{3}}{2} = frac{AB}{2} Rightarrow AB = sqrt{3}$

Logo, pela Lei dos Cossenos:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABcdot BCcdot cosalpha$

$herefore AC^2 = (sqrt{3})^2 + 4^2 - 2cdot4cdot sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2} Rightarrow AC = sqrt{7}$

ITEM C)

Para calcular a altura relativa ao lado AB usaremos o cálculo da área do triângulo de 2 formas diferentes:

$A = {color{red}frac{ABcdot h}{2}} = {color{blue}sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} = {color{green}frac{ABcdot BCcdot senalpha}{2}}$

Em vermelho temos a fórmula de A mais comum e bastante usada.

Em azul temos a fórmula de Hierão

Em verde uma forma alternativa de se encontrar a área do triângulo quando se conhece 2 lados e o ângulo formado entre eles.

Podemos usar qualquer um deles... Por comodidade, usaremos as fórmulas vermelho e verde, obtendo que:

$h = BCcdot senalpha = 4cdot frac{sqrt{1}}{2} = 2$

ITEM D)

Da fórmula em vermelho, podemos obter:

$A_{ABC} = frac{sqrt{3}cdot 2}{2} Rightarrow A_{ABC} = sqrt{3}$

Além desso, também podemos obter que:

$A_{AMB} = frac{sqrt{3}cdot 1}{2} Rightarrow A_{ABC} = frac{sqrt{3}}{2}$

E, portanto, obtemos:

$A_{AMC} = A_{ABC} - A_{AMB} = frac{sqrt{3}}{2}$

Dúvidas ou sugestões? Comentem !!!

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