Questão 24

FUVEST 2005

Matemática

(FUVEST - 2005 - 1 FASE) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos²α) x² – (4 cos α sen β) x + $frac{3}{2}$ sen β = 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo. Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente,

Gabarito:

Resolução:

Considerando $x=1$ raíz da equação:

$(cos^{2}x).x^{2}-(4.cosalpha.seneta ).x+frac{3}{2}.seneta =0$ , logo:

$(cos^{2}alpha ).1^{2}-(4.cosalpha.seneta ).1+frac{3}{2}.seneta =0Leftrightarrow$

$cos^{2}alpha -4.cosalpha.seneta+frac{3}{2}.seneta =0$

Sendo $alpha$ e $eta$ são ângulos agudos do triângulo e são complementares $(cosalpha =coseta )$ , a equação resultará em:

$cos^{2}alpha -4.cosalpha.cosalpha +frac{3}{2}.cosalpha =0$

$-3cos^{2}alpha +frac{3}{2}.cosalpha =0Leftrightarrow frac{3}{2}.cosalpha=3cos^{2}alphaLeftrightarrow cosalpha=frac{1}{2}$ , pois $cosalpha eq 0$

Portanto $alpha =frac{pi }{3}$ e $eta =frac{pi }{6}$

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