Questão 30

FUVEST 2005

Matemática

(FUVEST - 2005 - 1 FASE) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = log_nx, com n > 1 (figura a seguir). Suponha que B = (x, 0), C = (x + 1, 0) e A = (x - 1, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é

$frac{1}{2}+frac{sqrt{5}}{2}$

$1+frac{sqrt{5}}{2}$

$frac{1}{2}+sqrt{5}$

$1+sqrt{5}$

$frac{1}{2}+2sqrt{5}$

Gabarito:

$frac{1}{2}+frac{sqrt{5}}{2}$

Resolução:

Para resolver a questão , primeiramente, vamos determinar as áreas do triângulo e do trapézio.

i) Área do triângulo:

$A_{tri}=frac{basecdot altura}{2}=frac{log_n(x)}{2}$

ii)Área do trapézio:

$A_{trap}=base_{media}cdot altura=frac {(log_n(x)+log_n(x+1))}{2}cdot 1=\ \ =frac{log_n(x(x+1))}{2}$

iii) Vamos aplicar a relação dada:

$A_{trap}=3cdot A_{tri}Rightarrow 3cdotfrac{log_n(x)}{2}=frac{log_n(x(x+1))}{2}Rightarrow log_n(x^3)=log_n(x(x+1))\ \ Rightarrow x^3=x(x+1)Rightarrow x=0;;ou;; x^2-x-1=0$

Mas deve-se lembrar que, por estar aplicado na função logaritmo, x só assume valores positivos. Portanto,

$x^2-x-1=0Rightarrow x=frac{1pmsqrt{1+4cdot 1cdot1}}{2};;; herefore ;x=frac{1+sqrt 5}{2}$

Pois x só assume valores positivos.

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