Questão 3

ESPCEX 2018

Matemática

(ESPCEX - 2018) Seja A o maior subconjunto de $mathbb{R}$ no qual está definida a função real $fleft ( x ight )=sqrt{frac{x^{3}-5x^{2}-25x+125}{x+5}}$ . Considere, ainda, B o conjunto das imagens de f. Nessas condições,

$A=mathbb{R}-left { -5 ight }, e, B = mathbb{R}_{+}-left { 10 ight }$

$A=mathbb{R}-left { -5 ight }, e, B = mathbb{R}_{+}$

$A=mathbb{R}-left { -5 ight }, e, B = mathbb{R}$

$A=mathbb{R}-left { -5,5 ight }, e, B = mathbb{R}_{+}$

$A=mathbb{R}-left { -5,5 ight }, e, B = mathbb{R}_{+}-left { 10 ight }$

Gabarito:

$A=mathbb{R}-left { -5 ight }, e, B = mathbb{R}_{+}$

Resolução:

Domínio:

$i) x + 5 eq 0 Rightarrow x eq -5$

$ii) frac{x^{3} -5x^{2} -25x +125}{x+5} geq 0$

$x^{3} - 5x^{2} -25x +125$

Por inspeção, 5 e -5 são raízes.

$x^{3} - 5x^{2} -25x +125 = (x-5)(x+5)(x-1)$

$x-a = frac{x^{3} -5x^{2} -25x+125} {x^{2}-25} = frac{x^{3} -25x -(5x^{2}-125)}{x^{2} -25}$

$x-a = frac{x(x^{2 }-25) -5(x^{2} -25)}{x^{2} -25} = frac{(x^{2} -25) (x-5)}{x^{2} -25}$

$x-a = x-5$

Logo, temos ii):

$frac{(x+5)(x-5)^{2}} {x+5} = (x-5)^{2} geq 0$

Esse valor será sempre maior que zero.

Portanto, o domínio da função é:

$D = mathbb{R} - {5}$

A imagem será todos os reais não negativos.

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