Questão 12

ESPCEX 2018

Matemática

(EsPCEx - 2018) Considere a função $f: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ definida por $fleft ( x ight )=left ( sqrt{3} ight )^{4+2cdot senleft ( 3x ight )}$ e a função $g: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ , definida por $gleft ( x ight )=left ( frac{sqrt{3}}{3} ight )^{1+3cdot cosleft ( 2x ight )}$ . O produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual a

$frac{1}{81}$ .

$frac{1}{9}$ .

$1$ .

$9$ .

81.

Gabarito:

$9$ .

Resolução:

A questão pede o valor mínimo de f.

Perceba que em f, $fleft ( x ight )=left ( sqrt{3} ight )^{4+2cdot senleft ( 3x ight )}$ a base é maior que 1. Logo, o menor valor de f, ocorrerá quando o expoente atingir o menor valor. Repare que o menor valor do expoente é 4-2=2

Com isso, o menor valor de f é $f_{max}=left ( sqrt{3} ight )^2=3$

A questão pede o valor máximo de g.

Perceba que em g, $gleft ( x ight )=left ( frac{sqrt{3}}{3} ight )^{1+3cdot cosleft ( 2x ight )}$ a base é menor que 1. Logo, o maior valor de g ocorrerá quando o expoente atingir o menor valor. Repare que o menor valor do expoente é 1-3 = -2

Com isso, o maior valor de g é $g_{max}=left ( frac{sqrt{3}}{3} ight )^{-2} = left (frac{3}{9} ight )^{-1} = 3$

Com isso, O produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual a 3*3=9

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