Questão 32462

ESPCEX 2018

Matemática

(EsPCEx - 2018) A equação da reta tangente ao gráifco da função $fleft ( x ight )=x^{2}-6x+1$ , no ponto (4,-7), é igual a

$y=-2x+1$

$y=3x-19$

$y=x-11$

$y=-3x+5$

$y=2x-15$

Gabarito:

$y=2x-15$

Resolução:

$f(x) = x^{2} -6x +1;$

$P(4, -7)$

$Delta = 36 - 4 = 32$

Reta tangente: $y = ax + b$ no ponto P, logo:

$-7 = 4a + b$

Para que a reta $y = ax+b$ tenha apenas uma intersecção com f(x), isto é, um ponto de tangência, temos que:

$ax+b = x^{2} - 6x + 1$

$x^{2} - (6+a)x + (1-b) = 0$

Como a intersecção é única, o discriminante deve ser igual a zero:

$Delta = 0 Rightarrow (6+a)^{2} - 4(1-b) = 0$

Temos, portanto, um sistema de equações:

$left{egin{matrix} b & = & -7-4a \ (6+a)^{2}&+4(b-1) = &0 \ end{matrix} ight.$

Resolvendo o sistema, obtemos a = 2.

E b = -15.

Logo, a equação da reta é dada por:

$y = 2x - 15$

Alternativa E.

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