Questão 7619

EFOMM 2016

Matemática

(EFOMM - 2016) O número complexo, z = | z | (cos θ + i.sen θ), sendo i a unidade imaginária e 0 ≤ θ ≤ 2π, que satisfaz a inequação |z + 3i| ≤ 2 e que possui o menor argumento θ, é

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

A região definida por |z+3i|≤2 é o interior de uma circunferência centrada em 3i e com raio 2 quando representado no plano de Argand-Gauss. Com isso o z de menor módulo é tal que sua direção em relação ao 0 seja tangente a esta circunferência.

Solução geométrica:

Definindo D como a projeção de Z no eixo real A=0 e C=3i, podemos calcular o módulo de Z por pitágoras triângulo AZC:

$|Z|^2=3^2-2^2=5Rightarrow |Z|=sqrt{5}$

agora podemos determinar |D| por semelhança entre os triângulos AZC e ZDA:

$frac{|D|}{sqrt{5}}=frac{2}{3}Rightarrow |D|=frac{2sqrt{5}}{3}$

mas como D é negativo e igual à parte real de Z:

$Re{Z}=-frac{2sqrt{5}}{3}$

a parte imaginária podemos tirar por pitágoras:

$|Im{Z}|^2=(sqrt{5})^2-left(frac{2sqrt{5}}{3} ight)^2=5-frac{20}{9}=frac{25}{9}\\Rightarrow |Im{Z}|=frac{5}{3}Rightarrow Im{Z}=-frac{5}{3}$

$Z=-frac{2sqrt{5}}{3}-frac{5}{3}i$

Solução algébrica:

Da mesma maneira como na alternativa anterior, $|Z|=sqrt{5}$ , escrevendo Z=x+yi

$egin{cases} x^2+y^2=5\ x^2+(y+3)^2=2^2 end{cases} Rightarrow egin{cases} x^2+y^2=5\ x^2+y^2+6y+9=4 end{cases}Rightarrow 6y=-9+4-5=-10$

daí tiramos:

$y=-frac{5}{3}$

substituindo na primeira equação:

$x^2+left(-frac{5}{3} ight )^2=5\\Rightarrow x^2=5-frac{25}{9}=frac{20}{9}$

essa equação possui duas soluções:

$x=frac{2sqrt{5}}{3} ext{ , e } x=-frac{2sqrt{5}}{3}$

mas pela disposição de Z vemos que a segunda é a procurada, portanto:

$Z=-frac{2sqrt{5}}{3}-frac{5}{3}i$

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