Questão 22430

EFOMM 2016

Matemática

(Efomm 2016)

Determine o comprimento do menor arco AB na circunferência de centro O, representada na figura a seguir, sabendo que o segmento OD mede 12 cm, os ângulos COD = 30° e OAB = 15° e que a área do triângulo CDO é igual a 18 cm².

5π cm

12 cm

5 cm

12π cm

10π cm

Gabarito:

5π cm

Resolução:

$\\ (i);;S_{CDO}=18cm^2\\ ext{Mas a área de um triângulo é dada por: } S=frac{acdot bcdot senalpha}{2} ext{, em que } a ext{ e } b ext{ são lados e } alpha ext{ é o ângulo entre eles. Logo:} \\ S_{CDO}=frac{ODcdot OCcdot sen30^{circ}}{2}=18;;Rightarrow;;frac{12cdot Rcdot frac{1}{2}}{2}=18;; herefore;;oxed{R=OC=6cm}\\ (ii);; ext{Veja que o triângulo } OAB ext{ é isósceles de base } AB ext{, logo, como o ângulo } OAB ext{ mede } 15^{circ} ext{, temos que o ângulo } AOB ext{ mede } 180^{circ}-2cdot15^{circ}=150^{circ}=frac{5pi}{6};rad ext{. Como o comprimento de um arco } (C) ext{, cujo ângulo de abertura é } heta ext{ (em radianos), é dado por } C=Rcdot heta ext{, temos, finalmente, que:} \\$

$\\ C=6cdotfrac{5pi}{6};; herefore;;oxed{C=5pi;cm}$

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