Questão 15

EFOMM 2015

Matemática

(EFOMM 2014/2015 - Alterada) Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0.

$frac{1}{5}(2x^{3}-3x^{2}+2x+2)$

$frac{2}{5}(2x^{3}-3x^{2}+2x+2)$

$frac{2}{5}(2x^{3}-3x^{2}-2x+2)$

$frac{1}{5}(2x^{3}-3x^{2}-2x+2)$

$frac{2}{3}(x^{3}-x^{2}+2x+2)$

Gabarito:

$frac{2}{5}(2x^{3}-3x^{2}+2x+2)$

Resolução:

Primeiramente, sabemos que se um polinômio de coeficientes reais possui uma raíz complexa, então o conjugado dessa raíz também é raíz do polinômio.

Desse modo, temos que se P(1+i) = 0, então P(1-i) = 0.

Logo, P(x) pode ser escrito como:

$P(x)=left(x-(1+i) ight )cdot left(x-(1-i) ight )cdot q(x)$

Sabendo que P(i) = 2, temos que:

$P(x)=left(i-(1+i) ight )cdot left(i-(1-i) ight )cdot q(i)=2$

, então

$left(-1 ight )cdot left(2i-1 ight )cdot q(i)=2\ \\ Rightarrow q(i)=frac{2}{1-2i}\ \\ Rightarrow q(i)=frac{2}{5}(1+2i)$

Para que P(x) tenha coeficiente reais e grau mínimo, devemos ter q(x) com coeficientes reais e grau 1.

Sendo assim, dizendo que q(x) = ax + b, ou seja, q(i) = ai + b e igualando à q(i) dado em (I), temos que:

$q(x)=frac{2}{5}(1+2x)$

Logo, vem que:

$egin{matrix} P(x)=&frac{2}{5}cdotleft(x-(1+i) ight )cdotleft(x-(1-i) ight )(1+2x)\\ =&frac{2}{5}left(x^2-x[(1+i)+(1-i)]+(1+i)(1-i) ight )cdot(1+2x)\\ =&frac{2}{5}left(x^2-2x+2 ight )cdot(1+2x)\\=&frac{2}{5}left(2x^3-3x^2+2x+2 ight ) end{matrix}$

Alternativa B

Questões relacionadas

Questão 1

(EFOMM - 2015) Uma turma de alunos do 1º ano da EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 às 10h20 e de 10h30 às 12h. As matérias são Arquitetura N...

Ver questão

Questão 5

(EFOMM - 2015) Sejam as funções e . Sabendo que é bijetora e é sobrejetora, considere as sentenças a seguir: I - ...

Ver questão

Questão 7

(EFOMM - 2015) Um juiz de futebol trapalhão tem no bolso um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com uma face amarela e uma outra face vermelha. Depois de uma jog...

Ver questão

Questão 18

(EFOMM - 2015) Seja uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo é dado pela lei Pode-se afirmar que o valor de det(A) é:

Ver questão