(EFOMM - 2012) Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes –3 e –2.Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é:
1.
2.
3.
4.
5.
Gabarito:
3.
Seja a equação correta como:
ax² + bx + c = 0
Para o primeiro aluno, ouve a substituição de c por p, obtendo-se as raízes -2 e -3. Temos então o seguinte:
ax² + bx + p = a(x + 2)(x + 3), desenvolvendo o segundo membro, temos
ax² + bx + p = ax² + 5ax + 6a
Igualando os coeficientes correspondentes, temos que:
b = 5a (I)
p = 6a
Para o segundo aluno, ouve a substituição de b por q, obtendo-se as raízes 1 e 4. Temos então o seguinte:
ax² + qx + c = a(x - 1)(x - 4), desenvolvendo o segundo membro, temos
ax² + qx + c = ax² - 5ax + 4a
Igualando os coeficientes correspondentes, temos que:
q = -5a
c = 4a (II)
Substituindo (I) e (II) na equação original, temos que:
ax² + bx + c = ax² + 5ax + 4a = 0, então
a(x² + 5x + 4) = 0
Sendo a diferente de 0, temos que:
Se a(x² + 5x + 4) = 0, então
x² + 5x + 4 = 0
Resolvendo essa equação com Bhaskara, temos as raízes:
-1 e -4
Logo, a diferença positiva entre elas é 3.