Questão 32330

EFOMM 2012

Matemática

(EFOMM - 2012) Num quadrado de lado a, inscreve-se um círculo; nesse círculo, inscreve-se um novo quadrado e nele um novo círculo. Repetindo a operação indefinidamente, tem-se que a soma dos raios de todos círculos é:

$frac{asqrt{2}}{2}left ( sqrt{2} - 1 ight )$

$asqrt{2}left ( sqrt{2} - 1 ight )$

$frac{asqrt{2}}{2}left ( sqrt{2} + 1 ight )$

$asqrt{2}left ( sqrt{2} + 1 ight )$

$2aleft ( sqrt{2} + 1 ight )$

Gabarito:

$frac{asqrt{2}}{2}left ( sqrt{2} + 1 ight )$

Resolução:

Primeiramente nós desenhamos a figura que o enunciado projeta:

O primeiro quadrado, o maior (cor preta), tem lado a. Repare nas diagonais deste quadrado (linhas verdes). As diagonais de todos os outros quadrados (menores que o primeiro) estão sob estas linhas verdes (diagonais do quadrado maior).

Os segmentos que passam pelos pontos médios dos lados dos quadrados são desenhados por duas linhas azuis.

Para esta questão nós temos que trabalhar com o conceito de recorrência. O conceito de recorrência vem do estudo de sequências. Toda sequência recorrente tem uma recorrência, ou seja, tem uma lei geral da sequência. Nosso objetivo é entender a lei geral que define este desenho o geométrico.

Primeiramente a gente tem um quadrado de lado a. Aí desenhamos um círculo dentro dele. O círculo, para ser inscrito ao quadrado, deve tocá-lo em seus pontos médios. Logo, a linha azul (segmentos dos pontos médios dos quadrados) passa pelo diâmetro deste círculo. Logo, o diâmetro do círculo é igual ao comprimento do lado do quadrado que é a. Daí, sendo r o raio do círculo,

2r = a => r = a/2

Depois disso, desenhamos um segundo quadrado dentro do primeiro círculo. Este quadrado está representado na figura acima pela cor cinza. Repare que as diagonais deste quadrado, que passam pelas linhas verdes que são os segmentos de diagonais do quadrado maior, são segmentos iguais aos diâmetros do círculo, pois os vértices do quadrado devem estar sob o primeiro círculo de raio descoberto r = a/2.
Como sabemos, supondo que o lado deste segundo quadrado seja b, a diagonal do segundo quadrado será $bsqrt{2}$ (Pitágoras). Como a diagonal é igual ao diâmetro do círculo maior, então:

$bsqrt{2}=2r=aRightarrow b=acdotfrac{sqrt{2}}{2}$ .

Aí desenhamos um novo círculo (o segundo de cor cinza) inscrito no segundo quadrado. Seguindo o mesmo raciocínio anterior e considerando que este segundo círculo tenha r' como raio, então:

$2r=bRightarrow r=frac{b}{2}=frac{acdotfrac{sqrt{2}}{2}}{2}=frac{asqrt{2}}{4}$ .

Percebe que, sempre que desenharmos um quadrado ainda menor, para obter o lado deste novo quadrado, nós devemos multiplicar o lado do quadrado anterior por $frac{sqrt{2}}{2}$ e para obter o raio do novo círculo inscrito a este novo quadrado devemos dividir o comprimento do lado do novo quadrado por 2? Sempre!

Então já temos nossa recorrência ou lei da sequência:

$left{egin{matrix} a_1=a\ a_n=a_{n-1}cdotfrac{sqrt{2}}{2}=a_1cdotleft(frac{sqrt{2}}{2} ight )^{n-1}=acdotleft(frac{sqrt{2}}{2} ight )^{n-1} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} r_1=frac{a}{2}\ r_n=frac{a_{n}}{2}=frac{a_1cdotleft(frac{sqrt{2}}{2} ight )^{n-1}}{2}=acdotfrac{left(sqrt{2} ight )^{n-1}}{2^n} end{matrix} ight.$

A questão pede a soma dos raios de todos os círculos, então é pedido a soma dos elementos da PG de fórmula geral seguinte:

$r_n=acdotfrac{left(sqrt{2} ight )^{n-1}}{2^n}=frac{a}{2}cdotleft(frac{sqrt{2}}{2} ight )^{n-1}$

Como sabemos, a fórmula do somatório de uma PG infinita é:

$S_n=a_1cdotleft(frac{1}{1-q} ight )$ .

Como os círculo podem ser desenhados indefinidamente, então esta PG é infinita.

O primeiro elemento da PG em análise é o $frac{a}{2}$ e a razão é $frac{sqrt{2}}{2}$ , logo:

$S_n=a_1cdotleft(frac{1}{1-q} ight) =frac{a}{2}cdotleft(frac{1}{1-frac{sqrt{2}}{2}} ight)=frac{a}{2}cdotfrac{2}{2-sqrt{2}}=frac{a}{2-sqrt{2}}Rightarrow S_n=frac{asqrt{2}}{2}cdotleft(sqrt{2}+1 ight )$

A alternativa correta é, portanto, a Letra C.

Questão 32330

EFOMM 2012

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