Questão 15

EFOMM 2012

Matemática

O conjunto solução da inequação $LARGE frac{log_{10}(x^2 + frac{3}{4})}{(x+1)^3(1-x)^2} geq 0$ é

A

$LARGE ]-1, -frac{1}{2}] cup [frac{1}{2}, 1[ cup ]1, +infty[$

B

$LARGE ]-1, -frac{1}{2}] cup [ frac{1}{2}, 1 ] cup ]frac{2}{sqrt{3}}, +infty[$

C

$LARGE [-1, -frac{1}{2}] cup [frac{1}{2}, 1[ cup ]1, +infty[$

D

$LARGE ]-1, -frac{1}{2}] cup [ frac{1}{2}, 1 [ cup ]1,frac{2}{sqrt{3}}]$

E

$LARGE ]-1, -frac{1}{2}] cup ] frac{1}{2}, 1 [ cup ]1,frac{2}{sqrt{3}}[$

Gabarito:

$LARGE ]-1, -frac{1}{2}] cup [frac{1}{2}, 1[ cup ]1, +infty[$

Resolução:

1) Possibilidades para que a afirmação seja verdadeira:

1.1) O numerador e o denominador sejam positivos ou iguais a 0:

$log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)ge :0$ e $(x+1)^3geq 0$

1.1.1) $log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)ge :0$

$log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)ge log _{10}left(10^0 ight)$

$log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)ge log _{10}left(1 ight)$

$x^2+frac{3}{4}ge :1$

$xle :-frac{1}{2}quad mathrm{ou}quad :xge frac{1}{2}$

1.1.2) $(x+1)^3geq 0$

$x+1ge :0$

$xge :-1$

1.1.3) Logo, a solução é válida para:

$-1leq xle :-frac{1}{2}quad mathrm{ou}quad :xge frac{1}{2}$

1.2) O numerador e o denominador sejam negativos ou iguais a 0:

$log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)leq :0$ e $(x+1)^3leq 0$

1.2.1) $log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)leq :0$

$log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)le log _{10}left(10^0 ight)$

$log _{10}left(x^2+frac{3}{4} ight)le log _{10}left(1 ight)$

$0< x^2+frac{3}{4}le :1$

$-frac{1}{2}le :xle frac{1}{2}$

1.2.2) $(x+1)^3leq 0$

$x+1le :0$

$xle :-1$

1.1.3) Logo, a solução é válida para nenhum intervalo nessa condição.

2) Lembrando que o denominador não pode ser igual a 0, logo x deve ser diferente de 1 e -1.

Logo, a solução será $-1< xle :-frac{1}{2}quad mathrm{ou}quad :xge frac{1}{2}$ que é igual a $oxed{(-1 :,:-frac{1}{2}]cup :[frac{1}{2},:1 :)cup :(1,:infty :)}$

PS: Como $(1-x)^2$ sempre será positivo, não influenciará no sinal.

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