Questão 21

AFA 2018

Matemática

(AFA - 2018) O menor dos possíveis coeficientes do termo em x⁸, no desenvolvimento de (2 + x² + 3x³)¹⁰ é igual a

11.240

12.420

13.440

14.720

Gabarito:

13.440

Resolução:

(2 + x² + 3x³)¹⁰

Pelo desenvolvimento do polinômio de Leibniz, temos que:

$(x_{1}+x_{2} + x_{3} + ... + x_{m})^{n}=sum frac{n!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}!...p_{m}!}cdot (x_{1})^{p_{1}}cdot (x_{2})^{p_{2}}cdot ...cdot (x_{m})^{p_{m}}$

Tal que p₁ + p₂ + ... + p_m = n.

Desse modo, para que o termo do desenvolvimento de (2 + x² + 3x³)¹⁰ tenha x⁸, precisamos que dois termos (3x³) e um (x²) se multipliquem, ou então que 4 termos (x²) se multipliquem.

Logo, temos os seguintes termos:

$frac{10!}{7!cdot1!cdot2!}cdot (2)^{7}cdot (x^{2})^{1}cdot(3x^{3})^{2} = 414720 cdot x^{8}$

$frac{10!}{6!cdot4!cdot0!}cdot (2)^{6}cdot (x^{2})^{4}cdot(3x^{3})^{0} =13440 cdot x^{8}$

O menor deles é 13440x⁸

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