Questão 23
AFA 2018
(AFA - 2018) Considere no plano cartesiano as retas r e s dadas pelas equações:
r : 3x + 3py + p = 0
s : px + 9y – 3 = 0
com .
Baseado nessas informações, marque a alternativa INCORRETA.
r e s são retas concorrentes se | p | 3.
Existe um valor de p para o qual r é equação do eixo das ordenadas e s é perpendicular a r.
r e s são paralelas distintas para dois valores reais de p.
r e s são retas coincidentes para algum valor de p.
Gabarito:
r e s são retas coincidentes para algum valor de p.
Resolução:
Vamos analisar por alternativas:
Letra A: Se encontrarmos valor para p tal que este valor torne r e s paralelas para p diferente de -3 ou 3, então esta alternativa é incorreta. r e s só podem ser paralelas se possuírem o mesmo coeficiente angular. Observando as equações,
r: 3x + 3py + p = 0 e s: px + 9y - 3 = 0, podemos escrever: r: y = (-1/p).x - 1/3 e s: y = (-p/9).x + 1/3, ou seja, mr = -1/p e ms = -p/9, então, os coeficientes de r e s devem ser iguais:
(-1/p) = (-p/9) => p2 = 9 => |p| = 3. Como |p| deve ser, necessariamente, 3 para as retas r e s sejam paralelas, então, para todo valor de p diferente de -3 ou 3, as retas r e s são concorrentes. Logo, esta alternativa está verdadeira.
Letra B: É fácil ver que se fizermos p = 0 vamos obter, para r, o seguinte r: 3x + 3.0.y + 0 = 0 => 3x = 0 => x = 0 e isto representa a reta das ordenadas (todo y tal que x = 0). Com este mesmo valor de p obtemos, para s, o seguinte: s: 0.x + 9y - 3 = 0 => y = 1/3 que é uma reta horizontal para todo x tal que y = 1/3. É fácil ver que estas retas, r e s, para esta configuração de p, são concorrentes e perpendiculares.
Do item anterior, vimos que mr = -1/p e ms = -p/9, para que r e s sejam perpendiculares devemos ter, necessariamente, mr.ms = -1 => (-1/p).(-p/9) = 1/9 que é diferente de -1, para p não nulo. Logo, só há um valor de p para o qual as retas r e s se tornam perpendiculares e este é para p = 0.
A alternativa está verdadeira, portanto.
Letra C: Como visto na Letra A, os dois únicos valores de p para os quais r e s se tornam paralelas é para p = 3 ou p = -3, ou seja, |p| = 3. Esta alternativa está verdadeira, portanto.
Letra D: Duas retas coincidentes necessariamente devem possuir mesmo coeficiente angular, logo, para que r e s sejam coincidentes, |p| = 3. Se isto acontecer, as retas ficam:
r: x + 3y + 1 = 0 (para p = 3) ou x - 3y - 1 = 0 (para p = -3).
s: x + 3y - 1 = 0 (para p = 3) ou x - 3y + 1 = 0 (para p = -3).
É possível ver que nenhuma dessas retas são coincidentes entre si, logo esta alternativa está falsa.
A alternativa correta é, portanto, a Letra D.