Questão 30

AFA 2018

Matemática

(AFA - 2018)

A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.

Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.

A medida de uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a

Gabarito:

Resolução:

Observe a figura a seguir:

• O ângulo interno do pentágono regular é 108° que é igual ao ângulo do vértice $Ahat{B}C$ .

• O ângulo $Ahat{C}B$ é igual a $Phat{A}B$ que é igual a 36°. Pelo seguinte:

$Phat{A}B+Ahat{B}C+Ahat{C}B=180$

$2Phat{A}B+108=180$

$2Phat{A}B=72$

$Phat{A}B=36$

Analogamente, o ângulo do vértice B em DBC é 36°.

Conclui-se, portanto, que o ângulo do vértice P em ABP é igual a 72°, já que o ângulo do vértice $Ahat{P}B$ mais o ângulo $Phat{B}A$ mais o ângulo $Phat{A}B$ é igual a 180°; logo o ângulo $Ahat{P}B$ é igual a 72°.

Note que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo BPC:

$frac{BC}{PC}=frac{AC}{BC}$ → $(BC)2 = (AC)cdot(PC)$ , sendo $BC = 2$ e $PC = x$ e $AC = 2 + x$ , então

$2^2 = (2 + x)cdot x$

$4=2x+x^2$

$x^2+2x-4=0$

$Delta =4-4cdot (-4)=20$

$x=frac{-2pmsqrt{20}}{2}$

$x=frac{-2pm 2sqrt{5}}{2}$

$x=-1pm sqrt{5}$

Solução válida: $x=sqrt{5}-1$ é o valor de PC.

$AC=AP+PC$

$AC=2+sqrt{5}-1$

$AC=1+sqrt{5}$

Alternativa correta é Letra A.

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