Questão 22
AFA 2017
(AFA - 2017)
Seja a matriz
Considere a função f: R→ R definida por f(x) = det A.
Sobre a função g: R→ R definida por em que | f(x) | é o módulo de f(x), é correto afirmar que:
possui período π.
seu conjunto imagem é [ -1/2, 0].
é par.
é crescente no intervalo [-π/4 , π/4].
Gabarito:
é par.
Resolução:
Vamos analisar item por item:
letra A:
O determinante é 1 + 2senxcosx - sen²x - cos²x. Então, |f(x)| = |detA| = |1 + 2senxcosx - sen²x - cos²x| = |1 + sen2x - (1)| = |sen2x|. Logo,
. O período de g(x), portanto, é o mesmo período de |sen2x|. É fácil ver que o período de sen2x é
, porém |sen2x| não possui valores negativos, logo, assim que x passa de
, ou seja,
, 2x passa de
e sen2x assume valor negativo, porém, |sen2x| assume valor positivo igual a valores para quando x passa de 0, ou seja,
.
Então podemos afirmar que é o período de g(x). Por isso a A é incorreta!
letra B:
Como e sen2x pode assumir valor nulo, para x = 0º, então g(x) pode assumir 1 como valor, logo, 1 pertence à imagem de g(x). O conjunto imagem posto neste item não inclui o 1, então, já por isto, podemos descartar esta alternativa. A B é incorreta!
letra C:
e
. Logo, g(x) é par. Por isso que a C é CORRETA!
letra D:
O determinante é 1 + 2senxcosx - sen²x - cos²x, correto? Porém, sen²x + cos²x = 1, então o determinante é igual a 2senxcosx = sen2x
Então g(x) é crescente no intervalo de [-45º, 45º] se g(-45º) < g(45º). Analisando essa inequação e como temos:
-|sen(-90º)| < -|sen(90º)| que leva a -|-sen(90º)| < -|sen(90º)|. Como |-a| = |a| vemos que a inequação não é verdadeira e portanto g(x) não é crescente no intervalo de [-45º, 45º].
Por isso a D é incorreta!
A alternativa correta é, portanto, a Letra C.
PS: Gráfico da função:
