Questão 26
AFA 2017
(AFA - 2017)
No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real f(x) = –x² – x + 2 e o polígono ABCDE
Considere que:
- o ponto C é vértice da função f.
- os pontos B e D possuem ordenadas iguais.
- as abscissas dos pontos A e E são raízes da função f.
Pode-se afirmar que a área do polígono ABCDE, em unidades de área, é
Gabarito:
Resolução:
Vamos desenvolver esta solução por passos:
Passo 1: A equação y = -x2 - x + 2 possui como raízes x = 1 ou x = -2 (pode-se obter este resultado utilizando Bháskara ou rápida substituição de x por pequenos números, ou seja, fáceis de se calcular, com o objetivo de obter o resultado y = 0). Logo, é possível observar que A = (-2,0) e E = (1,0) (a figura do enunciado está replicada a seguir).
Passo 2: Veja que, se x = 0, y = 2 e isto implica que D = (0,2). Como B e D possuem mesma ordenada, então, da equação acima, substituindo y pelo valor de ordenada igual a 2 devemos obter dois valores possíveis de x, sendo um igual a 0 que corresponde ao ponto D e outro a ser descoberto que corresponde ao ponto B. Daí,
y = 2 = -x2 - x + 2 => x = 0 ou x = -1. Como exposto acima, então B = (-1,2).
Passo 3: Calculemos a ordenada do vértice (pois assim obteremos o valor da ordenada de C):
.
Agora façamos o mesmo para a abscissa do vértice:
.
Daí, podemos escrever C = (-1/2, 9/4).
Passo 4: Agora podemos calcular a área da figura. Lembrando de Geometria Analítica para cálculo de áreas de polígonos convexos que podemos calcular a área desta figura através de uma pseudo-determinante onde em cada linha há as coordenadas de cada ponto do polígono, ou seja, em uma linha há dois elementos, o primeiro elemento é a abscissa de um dos pontos do polígono e o segundo elemento é a ordenada deste mesmo ponto do polígono:
. Daí,
.
A alternativa correta é a Letra B.