Questão 60

AFA 2014

Física

(AFA - 2014) Uma partícula A, de massa m e carga elétrica q, está em repouso no momento em que uma segunda partícula B, de massa e carga elétrica iguais às de A, é lançada com velocidade de módulo igual a v0, na direção x, conforme ilustra a figura abaixo.

A partícula B foi lançada de um ponto muito distante de A, de tal forma que, no instante do lançamento, as forças elétricas coulombianas entre elas possam ser desprezadas. Sendo K a constante eletrostática do meio e considerando apenas interações eletrostáticas entre essas partículas, a distância mínima entre A e B será igual a

A

B

C

D

Gabarito:

Resolução:

Pela conservação do momento linear, temos:

$Q_i=Q_f$

$mv_0=mv_A+mv_B$

Como as massas não mudam:

$cancel mv_0= cancel mv_A+ cancel mv_B$

Dessa forma:

$v_B= v_0-v_A$ (equação 1)

Pela conservação da energia mecânica, temos:

$E_{mi}=E_{mf}$

$frac{mv_0^2}{2}=frac{mv_a^2}{2}+frac{mv_b^2}{2} +frac{kq^2}{d}$

Isolando d:

$frac{mv_0^2}{2}-frac{mv_a^2}{2}-frac{mv_b^2}{2} =frac{kq^2}{d}$

Colocando a massa em evidência:

$frac{m(v_0^2-v_a^2-v_b^2)}{2}=frac{kq^2}{d}$

$d = frac{2kq^2}{m(v_0^2-v_a^2-v_b^2)}$ (equação 2)

Como a massa é constante para distâncias mínimas, então, $v_0^2-v_a^2-v_b^2$ deve ser máxima.

$f(v_A)=v_0^2-v_A^2-v_B^2$ (equação 3)

Substituindo a equação 1 na equação 3:

$f(v_A)=v_0^2-v_A^2-(v_0-v_A)^2$

$(v_0-v_A)^2 = v_0^2-2v_0v_A-v_A^2$

Assim:

$f(v_A)=v_0^2-v_A^2- v_0^2-2v_0v_A-v_A^2$

$f(v_A)=cancel{v_0^2}-v_A^2- cancel{v_0^2}-2v_0v_A-v_A^2$

$f(v_A)=-2v_A^2-2v_0v_A$

Como queremos o ponto máximo da função, vamos calcular a coordenada y do vértice ( $y_{max}$ )

$Y_{max}=frac{-Delta }{4a}$

$a=-2$

$Delta = -b^2+4cdot acdot c$

$Delta = -(2v_o)^2+4cdot (-2)cdot 0$

$Delta = 4v_o^2$

$Y_{max}=frac{- (cancel4v_o^2) }{cancel4cdot (-2)} = frac{cancel-V_0^2}{cancel-2}$

$Y_{max}=frac{V_0^2}{2}$

Substituindo na equação 2:

$d_{min} = frac{2kq^2}{mfrac{V_0^2}{2}}$

$d_{min} = frac{2kq^2}{1} cdot frac{2}{mV_0^2}$

$d_{min} = frac{4kq^2}{mV_0^2}$

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