Questão 44

AFA 2007

Matemática

(AFA - 2007)

Classifique em VERDADEIRO ou FALSO cada item a seguir.

(2) A parábola cuja equação é x² - 4y = 0 tem diretriz representada pela reta y + 1 = 0 e foco coincidente com o baricentro do triângulo ABC, onde A é a origem do sistema cartesiano, B (2,3) e C (-2,0).

(3) O conjunto de pontos representados pela equação x² - y² + x + y = 0 é uma hipérbole equilátera que NÃO tem centro na origem do sistema cartesiano.

(8) Na elipse 16x² + 64y² = 1 a medida do eixo vertical é 50% da medida do eixo horizontal.

(16) Existem apenas 4 números inteiros entre os valores de k, para os quais o vértice da parábola y² = 4x + 1 é ponto exterior à circunferência x² + y² - 2x + 4y + k = 0.

A soma dos itens VERDADEIROS é um número do intervalo

[22,30[

[10,16[

[16,22[

[2,10[

Gabarito:

[10,16[

Resolução:

(2) A parábola $x^2-4y=0$ possui parâmetro $p=2$ e $F=(0,1)$ . Assim, a reta diretriz é $y+1=0$ . A baricentro do triângulo é dada por $left ( frac{0+2-2}{3},frac{0+3+0}{3} ight )=F$ . Alternativa verdadeira.

(3) $x^2-y^2+x+y=0$

$left ( x+frac{1}{2} ight )^2-left ( y-frac{1}{2} ight )^2=0$ Não é uma hipérbole. Alternativa falsa.

(8) $frac{x^2}{frac{1}{16}}+frac{y^2}{frac{1}{64}}=1$ → $a=frac{1}{4}$ e $b=frac{1}{8}=a cdot 50\%$ . Alternativa verdadeira.

(16) A parábola $y^2=4x+1$ tem vértice $V=left ( -frac{1}{4},0 ight )$ . A circunferência é:

$x^2+y^2-2x+4y+k=0$

$(x-1)^2+(y-2)^2=5-k$ , tem centro $C=(1,2)$

Para que V seja exterior à circunferência:

$d_{V,C}> r$

$(1-(-frac{1}{4}))^2+(2-0)^2>5-k$

$frac{25}{16}+4>5-k$

$k> -frac{9}{16}$ , há infinitos valores de k. Alternativa falsa.

Soma: 2+8 = 10.

Letra B.

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