Questão 34

AFA 2007

Matemática

(AFA - 2007) Sabe-se que o isótopo do carbono, C¹⁴, tem uma meia-vida de 5760 anos, isto é, o número N de átomos de C¹⁴ na substância é reduzido a $mathbf{frac{N}{2}}$ após um espaço de tempo de 5760 anos. Essa substância radioativa se degrada segundo a sequência $N = N_0 cdot 2^{-t}, t epsilon left { 0,1,2,... ight }$ em que N₀ representa o número de átomos de C¹⁴ na substância no instante t = 0 e t é o tempo medido em unidades de 5760 anos. Com base nas informações acima, pode-se dizer que

o número de átomos, quando t = 1, era 5760.

o número de átomos será igual a um terço de N₀ quando decorridos 1920 anos.

após 11520 anos, haverá a quarta parte do número inicial de átomos.

quando t = 5760, haverá metade do número inicial.

Gabarito:

após 11520 anos, haverá a quarta parte do número inicial de átomos.

Resolução:

Sabe-se que o isótopo do carbono, C¹⁴, tem uma meia-vida de 5760 anos, isto é, o número N de átomos de C¹⁴ na substância é reduzido a $mathbf{frac{N}{2}}$ após um espaço de tempo de 5760 anos. Essa substância radioativa se degrada segundo a sequência $N = N_0 cdot 2^{-t}, t epsilon left { 0,1,2,... ight }$ em que N₀ representa o número de átomos de C¹⁴ na substância no instante t = 0 e t é o tempo medido em unidades de 5760 anos. Com base nas informações acima, pode-se dizer que

a) o número de átomos, quando t = 1, era 5760. -> Falsa

Não há nenhuma informação em relação ao número inicial de átomos. A informação que temos é que a meia-vida é de 5760 anos.

b) o número de átomos será igual a um terço de N₀ quando decorridos 1920 anos. -> Falsa

Temos que o número de átomos segue a regra $N = N_0 cdot 2^{-t}$ .

Como t aumenta 1 a cada 5760 anos, podemos fazer uma regra de 3 para encontrar t para 1920.

Com isso, t=1/3.

Com isso, $N = N_0 cdot 2^{-frac{1}{3}}$ ,

$N = N_0 cdot frac{1}{sqrt[3]{2}}$

c) após 11520 anos, haverá a quarta parte do número inicial de átomos. -> Verdadeira

Como t aumenta 1 a cada 5760 anos, podemos fazer uma regra de 3 para encontrar t para 11520. Temos então que t=2.

Com isso, $N = N_0 cdot 2^{-2}$

$N = frac{N_0}{4}$

d) quando t = 5760, haverá metade do número inicial. -> Falsa

Como t=5760:

Com isso, $N = N_0 cdot 2^{-5760}$

$N = frac{N_0}{2^{5760}}$

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