Questão 33

AFA 2007

Matemática

(AFA - 2007)

Seja z um número complexo não nulo e i a unidade imaginária (i² = -1), z $\neq$ i. O conjunto de todos os valores de z para os quais $frac{z+i}{1+iz}$ é um número real, representa um(a):

elipse

hipérbole

circunferência

círculo

Gabarito:

circunferência

Resolução:

Vamos chamar z de $z=x+iy$ :

$frac{x+i(y+1)}{1-y+ix}=$

$frac{x+i(y+1)}{[(1-y)+ix]}cdot frac{[(1-y)-ix]}{[(1-y)-ix]}=$

$frac{x-xy+i(1-y^2)-ix^2+xy+x}{[(1-y)^2+x^2]}=$

$frac{2x+i(1-y^2-x^2)}{[(1-y)^2+x^2]} in mathbb{R}$

Logo:

$1-y^2-x^2=0$

$x^2+y^2=1$ → circunferência

Alternativa correta é Letra C.

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