Questão 35
AFA 2007
(AFA - 2007)
Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir.
( ) O número de raízes complexas de B(x) = 0 sendo B(x) = x2n + 1 + ax2n + b onde a e b são números reais e n é número natural, é
= 2n + 1.
( ) Se A(x) = xn + 4x + 2, onde n | n > 1, então A(x) = 0 não admite raízes racionais.
( ) Se o polinômio D(x) de grau 3 admite raízes ,
e
, então, o polinômio Q(x) = [D(x)]2 admitirá o mesmo conjunto solução.
( ) Se P(x) = x2n+1 + 4xn + k, onde n e k
, então P(x) = 0 terá pelo menos uma raiz real.
Tem-se a sequência correta em
V - V - V - V
F - V - V - F
V - V - F - V
V - F - F - V
Gabarito:
V - V - V - V
Resolução:
( V ) Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau possui
raízes complexas (não necessariamente essas raízes possuem a unidade imaginária, podem ser raízes reais).
( V ) Pelo Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio A possui tiver alguma raiz racional, ele pertencerá ao conjunto . Mas, testando esses valores, nenhum deles satisfaz a equação
. Logo, o polinômio não possui raizes racionais.
( V ) O polinômio D é . Então, o polinômio Q, que é
, também terá como raízes os valores
,
e
.
( V ) O polinômio só tem coeficientes reais. Logo, todas as raízes complexas de parte imaginária não nula aparecem aos pares, já que, se é raiz, então
também é raiz.
Como o polinômio possui raízes, isto é, uma quantidade ímpar de raízes e as raízes não reais aparecem aos pares, então há pelo menos uma raiz real.
Alternativa correta é Letra A.