Questão 32263

ACAFE 2016

Matemática

(ACAFE - 2016) Sendo $X_{n}$ a soma dos n primeiros termos da sequência (3,5,7,9,11,....), e $Y_{n}$ o n- ésimo termo da sequência (-3,-35,-67,-99,....), então, a soma dos valores de n sabendo que $X_{n}=left | Y_{n} ight |$ é igual a:

Gabarito:

Resolução:

A primeira sequência dada é uma progressão aritmética de primeiro termo 3 e razão 2, logo a soma de seus n primeiros termos pode ser encontrada por:

$S_n = frac{n}{2} cdot (a_1 + a_n)$

$S_n = frac{n}{2} cdot (a_1 + (a_1 + (n-1)r))$

Substituindo os valores dados:

$S_n = frac{n}{2} cdot (3 + (3+ (n-1)2))$

$S_n = frac{n}{2} cdot (3 + (3+ 2n-2))$

$S_n = frac{n}{2} cdot (3 + (1+ 2n))$

$S_n = frac{n}{2} cdot (4+ 2n)$

$S_n = 2n + n^2$

A segunda sequência também é uma progressão aritmética, de primeiro termo -3 e razão -32, o termo $Y_n$ é:

$Y_n = -3 + (n-1)(-32)$

$Y_n = -3 -32n + 32$

$Y_n = 29 - 32n$

É dado que:

$X_n = left | Y_n ight |$

$n^2 + 2n = left | 29-32n ight |$

Sabemos que o termo $Y_n$ é estritamente negativo, logo seu módulo será seu inverso:

$n^2 + 2n = 32n - 29$

$n^2 -30n + 29= 0$

Resolvendo a equação de segundo grau:

$Delta = (-30)^2 - 4 cdot 1 cdot 29 = 900 - 116 = 784$

$sqrt{Delta } = sqrt{784}=28$

$n_1 = frac{-(-30)+28}{2} = frac{58}{2} = 29$

$n_2 = frac{-(-30)-28}{2} = frac{2}{2} = 1$

Logo n=1 e n=29 são soluções, e a some destes valores é 29 + 1 = 30.

Alternativa D.

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