Questão 172
ENEM 2023
(ENEM - 2023)
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo , o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
Gabarito:
Resolução:
Vamos partir do pressuposto que a área do semicírculo é igual a , sendo assim o que irá mudar é somente o raio.
Sendo a, b e c os catetos do triângulo, podemos analisar por meio da lei dos cossenos para qual angulação a resposta do professor é válida:
A lei dos cossenos é:
Para que a afirmação do professor seja verdadeira precisamos que o cosseno de alfa seja um valor negativo, pois assim o cateto a será maior que a soma dos dois outros catetos, e consequentemente a área do semicírculo o qual "a" é o raio, será maior que a soma da área dos demais. Veja:
Sendo assim, só precisamos analisar qual dos intervalos nas alternativas nos dá um cosseno negativo.
Cosseno de 0° a 90° = Positivo
Cosseno de 90°=0
Cosseno de 90° até 180°= Negativo
Cosseno de 180° = -1
Cosseno de 180° até 360°= Negativo e positivo.
Nesse olhar podemos ficar em dúvida entre 90° até 180°, 180° e de 180° até 360°, porém nos lembremos que é um triângulo e seus ângulos internos devem ser menores que 180°, sendo assim a resposta é entre 90° e 180°!!!
Letra C