Questão 169

ENEM 2022

Matemática

(ENEM PPL - 2022)

Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.

Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.

A altura da nova embalagem será igual a $frac{4}{3}$ da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x.

Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual?

$x=a$

$x=3a$

$x=9a$

$x= frac{3a}{2}$

$x= a sqrt{3}$

Gabarito:

$x= frac{3a}{2}$

Resolução:

D) Correta. Inicialmente vamos calcular cada volume. Vamos considerar V₁o volume da primeira embalagem, calculando:

$V_{1}= a cdot a cdot h= a^{2}h$

Agora vamos considerar V₂ é o volume da segunda embalagem (a que vai ser desenvolvida), e que deverá ser o triplo de V₁, calculando:

$V_{2}= 3 cdot V_{1}= 3a^{2}h$

Vamos observar que a altura da nova embalagem será igual a $frac{4}{3}$ da altura da embalagem atual, ou seja, será $frac{4}{3}h$ . As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x, e a nova embalagem tem formato de prisma reto de base quadrada, então seu volume é :

$V_{3}= x cdot x cdot frac{4}{3} cdot h= frac{4}{3}x^{2}h$

Agora, para encontrarmos a relação de dependência vamos igualar V₂ e V₃:

$V_{2}=V_{3} ightarrow frac{4}{3}x^{2}h= 3a^{2}h ightarrow x^{2}= frac{9a^{2}}{4} ightarrow x= frac{3a}{2}$

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

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