Questão 168

ENEM 2022

Matemática

(ENEM PPL - 2022)

Uma empresa de publicidade está criando um logotipo que tem o formato indicado na figura. O círculo menor está inscrito no quadrado ABCD, e o círculo maior circunscreve o mesmo quadrado. Considere S1 a área do círculo menor e S2 a área do círculo maior.

A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a

$sqrt{2}$

$frac{1}{2}$

Gabarito:

Resolução:

C) Correta. Inicialmente vamos considerar que o lado do quadrado vale x, sendo assim, as medidas dos raios R₁ e R₂ serão dadas em termos de x. Observe a ilustração na figura:

Da ilustração podemos concluir que $R_{1}= frac{x}{2}$ e R₂é igual a metade da diagonal do quadrado e, sabemos que a diagonal do quadrado é o lado multiplicado por $sqrt{2}$ , como o lado é x, a diagonal é $xsqrt{2}$ e $R_{2}=frac{ xsqrt{2}}{2}$ .

Agora já podemos calcular as áreas dos dois círculos:

A₁= área do círculo menor e A₂= área do círculo maior.

$A_{1}= pi cdot( R_{1})^{2} = pi cdot (frac{x}{2})^{2} ightarrow A_{1}= pi frac{x^{2}}{4}$

$A_{2}= pi cdot( R_{2})^{2} = pi cdot (frac{xsqrt{2}}{2})^{2}= pi cdot frac{x^{2} cdot 2 }{4} ightarrow A_{2}= pi frac{x^{2}}{2}$

Agora vamos calcular a razão entre as duas áreas:

$frac{A_{2}}{A_{1}} =frac{pi frac{x^{2}}{2}}{ pi frac{x^{2}}{4}} = pi frac{x^{2}}{2} cdot frac{4}{pi x^{2}} = frac{4}{2} = 2$

Portanto, a razão entre as áreas é 2, logo a alternativa correta é a letra C.

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