Questão 162

ENEM 2021

Matemática

(ENEM - 2021)

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo $Delta$ e estrela $*$ , definidas sobre o conjunto dos números reais por $x Delta y = x^{2} + xy - y^{2}$ e $x * y = xy + x$ .

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada $b$ , que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a Delta b) * (b Delta a) = 0$ . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada $b = 1$ .

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

$sqrt 5$

$sqrt 3$

$sqrt 1$

$frac{-1 + sqrt 5}{2}$

$frac{3 + sqrt5}{2}$

Gabarito:

$frac{3 + sqrt5}{2}$

Resolução:

Já conhecemos o valor de entrada b=1 e desejamos encontrar o valor de saída.

$(aDelta b)*(bDelta a)=0$

Vamos resolver as operações separadamente:

i) $(aDelta b)=a^2+ab-b^2=a^2+a-1$

ii) $(bDelta a)=b^2+ba-a^2=1+a-a^2$

iii) $(aDelta b)cdot (bDelta a)=0$

$(a^2+a-1) cdot (1+a-a^2)=0$

$(a^2+a-1) cdot (1+a-a^2)+(a^2+a-1) =0$

$a^2+a^3-a^4+a+a^2-1-a+a^2+a^2+a-1=0$

$-a^4+4a^2+a-2=0$

$a^2(-a^2+4)+a-2=0$

$a^2(2-a)(2+a)-1(2-a)=0$

$(2-a)(2a^2-a^3-1)=0$

$(2-a)(a-a^3+a^2-1)=0$

$(2-a)[a^2(1-a)+(a+1)(a-1)]=0$

$(2-a)(1-a)(a^2+a-1)=0$

Primeiras raízes descobertas: 2 e 1.

$a^2+a-1=0$

$Delta =1+4=5$

$a=frac{-1pm sqrt{5}}{2}$

Vamos dispor as raízes em ordem crescente:

$frac{-1- sqrt{5}}{2}, 1,frac{-1+ sqrt{5}}{2}, 2$

O valor de saída é a soma das duas maiores soluções:

$frac{-1+ sqrt{5}}{2}+2=frac{-1+ sqrt{5}+4}{2}=frac{3+ sqrt{5}}{2}$

Alternativa correta é Letra E.

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