Questão 179

ENEM 2010

Matemática

(ENEM 2010)

Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

(Foto: Reprodução/Enem)

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9a linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

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Gabarito:

Resolução:

Fazendo a soma das linhas temos o seguinte:

$S_{1}=1$

$S_{2}=4$

$S_{3}=9$

e assim por diante...

E podemos escrever essas relações da seguinte maneira:

$S_{1}=1$

$S_{2}=S_{1} +3$

$S_{3}=S_{2} +5$

$S_{4}=S_{3} +7$

$S_{9}=S_{8} +k$

Por soma telescópica:

Perceba que quando você fizer a soma de todos esses números, os termos da esquerda se cancelarão com os da direta, e restará somente:

$S_{9}=1+3+5+7+...+k$

Mas como saber qual é o termo $k$ ?

Basta perceber que o valor numérico em ${color{Red} n_{1}=1}$ em ${color{Red} n_{2}=3}$ , logo em ${color{Red} n_{9}=k}$

Tal que, pela formula do termo geral da P.A será dado por:

${color{Red} n_{9}=1+(9-1)cdot 2}$

${color{Red} n_{9}=17}$

Lembre-se que o valor acima é o númerico de $k$ ...

Daí vem:

$S_{9}=1+3+5+7+...+k$

$S_{9}=1+3+5+7+...+17$

Fazendo a soma desses termos ficamos com

$S_{n}=frac{(1+17)}{2}cdot 9=81$

Dúvidas ou sugestões?

É só deixar nos comentários! :D

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