Questão 6583

Gabarito: y = 4πR.

Resolução:

Essa questão tem uma ideia que é bem ligada pela Física, porém a prova é Matemática.

A figura acima é uma representação esquemática do movimento de uma roda. Uma roda, ao mover-se, o ponto de contato com o chão deve se manter parado em relação ao chão, ou seja, sem deslizar, e isso é importante para o movimento correto e eficiente da roda.

Isto se traduz no fato que, ao mover-se a roda em  para a direita, o mesmo ponto A apenas se levanta até atingir uma certa altura a partir do qual ele começa a se mover para a direita também.

Logo, na figura acima, nós temos que a roda anda  para a direita e o ponto B se move para a posição do ponto B' e o ponto O, centro da roda, se move para a posição O' distante de O em x, termo que deve ser obtido em função de  e .

A distância na horizontal de B para B' pode ser obtido como a soma de x por , distância da linha tracejada (que parte de O') na segunda circunferência ao R à direita. Logo, a distância horizontal percorrida por B é igual a .

Mas quanto é x? Bom, observe o triângulo AOO'. Este triângulo é um ângulo retângulo com um ângulo igual a  e lado oposto (cateto) igual a x e hipotenusa igual a . Logo

.

Dessa forma, a distância horizontal percorrida por B' é igual a 

.

Isto significa que a distância percorria por B é a metade da distância percorrida pelo centro da roda.

Agora, olhando para a problemática de carregar a pedra, a distância horizontal que a pedra percorre é a mesma distância percorrida pelos pontos de contato da roda com a pedra, ou seja, se acompanhássemos o ponto B o tempo todo, a distância percorrida pelo ponto B quando a roda completa uma volta é igual a distância percorrida pela pedra.

Logo, quando a roda dá uma volta completa, ou seja, o centro da roda anda , o ponto B teria se movido o dobro dessa distância, que é .

Desta forma, a pedra andou .

A alternativa correta é a Letra E.