Questão 32621

ENEM 2010

Matemática

(Enem 2ª aplicação 2010) Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.

Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de

R$ 0,20, pois haverá uma redução de $frac{2}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

R$ 0,40, pois haverá uma redução de $frac{1}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem.

R$ 0,80, pois haverá um aumento de $frac{1}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

R$ 1,00, pois haverá um aumento de $frac{2}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

Gabarito:

R$ 0,40, pois haverá uma redução de $frac{1}{3}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

Resolução:

[B]

Sejam r₁ = 2cm e h₁ = 13,5cm, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro cujo rótulo custa R$ 0,60.

Se V₁ e $mathrm{A symbol{ell}}_1$ denotam, respectivamente, a capacidade e a área do rótulo, então $mathrm{V_1 = pi cdot 2 ^2 cdot 13,!5 = 54 pi cm ^3}$ e $mathrm{Aell_1 = 2 cdot pi cdot 2 cdot 13,!5 = 54 pi cm^ 2}$ .

Sejam r₂ e h₂, respectivamente, o raio da base e a altura da nova embalagem. Como h₂ = 2 ·r₂ e as capacidades das embalagens são iguais, temos que $mathrm{V_1 = V_ 2 Leftrightarrow 54 pi = pi r_ 2{^2} cdot 2 r_ 2 Leftrightarrow r_ 2 = sqrt[3]{27} = 3}$ .

Além disso, a área lateral da nova embalagem é $mathrm{A ell_ 2 = 2 cdot pi cdot 3 cdot 6 = 36 pi cm ^2}$ .

Supondo que o custo da embalagem seja diretamente proporcional à área lateral da mesma, obtemos $mathrm{c_1 = k cdot Aell _1 Leftrightarrow k = frac{0,6}{54 pi}}$ , sendo k a constante de proporcionalidade e c₁ o custo da primeira embalagem.

Portanto, $mathrm{c_ 2 = k cdot A ell _2 = frac{0,6}{54 pi} cdot 36 pi = R$ 0,40}$ e $mathrm{frac{c_2}{c_ 1} = frac{36 pi}{54 pi} = frac{2}{3}}$ , ou seja, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de R$ 0,40, pois haverá uma redução de $mathrm{c_1 - c_2 = c_1 - frac{2}{3} c_1 = frac{1}{3}c_1 }$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

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