Questão 10775

ENEM 2010

Matemática

(ENEM - 2010) Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%.

Disponível em: planetasustentavel.abril.com. Acesso em: 02 maio 2009.

Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente,

22,5%.

50,0%.

52,3%.

65,5%.

77,5%.

Gabarito:

52,3%.

Resolução:

Resolução 1:

1) A produção de Etanol no Brasil (43%) e nos EUA (45%) correspondiam a 88% da produção em 2006.

Logo, 0,43+0,45=0,88

2) Os EUA passaram a produzir em 2009 somente a metade de sua produção de 2006 (45%/2=22,5%).

Para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção, logo:

0,43x +0,225=0,88

0,43x =0,88- 0,225

0,43x =0,655

x=1,5232

3) Logo, o aumento será: 1,5232-1=0,5232 ou seja 52,32%.

Resolução 2:

Queremos que a soma da contribuição percentual do Brasil e dos EUA à produção mundial de etanol seja a mesma tanto em 2006, quanto em 2009.

Ou seja, sendo:

$B_{2006}$ : Produção de etanol no Brasil em 2006

$B_{2009}$ : Produção de etanol no Brasil em 2009

$E_{2006}$ : Produção de etanol nos EUA em 2006

$E_{2009}$ : Produção de etanol nos EUA em 2009

$M_{2006}$ : Produção mundial de etanol em 2006

$M_{2009}$ : Produção mundial de etanol em 2009

Logo, do enunciado, devemos ter que a soma dos percentuais de produção dos EUA e do Brasil em 2009 deve permanecer igual a 88% como em 2006:

$100 imes frac{B_{2006}}{M_{2006}} + 100 imes frac{E_{2006}}{M_{2006}} = 100 imes frac{B_{2009}}{M_{2009}} + 100 imes frac{E_{2009}}{M_{2009}}$

(cada termo aqui representa a porcentagem em relação à quantia global de etanol. A razão B₂₀₀₆/M₂₀₀₆ , por exemplo, é a fração de etanol produzido pelo Brasil em relação à produção mundial. Se multiplicamos essa razão por 100, teremos a fração percentual)

Agora é só fazer as contas:

Divindo ambos os lados da equação por 100, chegamos em:

$frac{B_{2006}}{M_{2006}} + frac{E_{2006}}{M_{2006}} = frac{B_{2009}}{M_{2009}} + frac{E_{2009}}{M_{2009}} Rightarrow frac{B_{2006} + E_{2006}}{M_{2006}}=frac{B_{2009} + E_{2009}}{M_{2009}}$

Multiplicando ambos os lados por $M_{2009}$ , obtemos:

$frac{M_{2009}}{M_{2006}}(B_{2006} + E_{2006}) =B_{2009} + E_{2009}$

Do enunciado, temos que $M_{2009} = M_{2006}$ . Sendo assim $frac{M_{2009}}{M_{2006}}=1$ , logo a equação se resume a:

$B_{2006} + E_{2006} =B_{2009} + E_{2009}$ .

Sabemos que $E_{2009} = E_{2006} / 2$ (a produção de etanol por parte dos EUA em 2009 é a metade da de 2006). Portanto:

$B_{2009} = B_{2006}+frac{E_{2006}}{2} => frac{B_{2009}}{B_{2006}} = 1 + frac{frac{E_{2006}}{B_{2006}}}{2}$ (aqui dividimos os dois lados da equação por B₂₀₀₆)

Dos dados do enunciado temos que $frac{B_{2006}}{M_{2006}}=43\%$ e $frac{E_{2006}}{M_{2006}}=45\%$ . Logo,

$frac{E_{2006}}{B_{2006}}=frac{0,45}{0,43} = frac{45}{43}$

Substituindo-se este valor na equação anterior, chegamos em:

$frac{B_{2009}}{B_{2006}} = 1 + frac{45}{86} approx 1,523$ .

Ou seja, o brasil deve produzir, no ano de 2009, 152,3% de sua produção total em 2006, o que equivale a um aumento de 152,3% - 100% = 52,3% entre os dois anos.

Em outras palavras, como a produção mundial é constante, então o percentual de produção dos dois países é proporcional às suas produções.

Logo, temos que:

(Produção percentual do Br em 2009) + (Produção percentual dos EUA em 2009) = 88% (I)

Mas sabemos que (Produção percentual dos EUA em 2009) = (Produção percentual dos EUA em 2009)/2 = 45%/2 = 22,5 % (II)

Com II em I, temos:

(Produção percentual do Br em 2009) + 22,5% = 88%

(Produção percentual do Br em 2009) = 65,5%

Dividindo (Produção percentual do Br em 2009) por (Produção percentual do Br em 2006) teremos:

(Produção percentual do Br em 2009)/(Produção percentual do Br em 2006) = 65,5%/43% = 1,523

Ou seja, a (Produção do Br em 2009) é 52,3% deve maior que (Produção do Br em 2006)

3ª Resolução:

Em 2006 a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros = 40 000 000 000 = 4.10¹⁰ litros, desse valor, os Estados Unidos produziram 45%

= 0,45*4.10¹⁰ = 1,8.10¹⁰litros

Em 2009, no entanto, os EUA produziram somente metade do que havia produzido em 2006, ou seja, 0,5*1,8.10¹⁰= 9.10⁹litros

O enunciado diz que a produção MUNDIAL foi a mesma, ou seja, continuou sendo de 4.10¹⁰litros. Então vamos ver qual a participação percentual dos EUA:

REGRA de TRÊS:

4.10¹⁰ -------- 100%

9.10⁹ --------- x .:. x = 22,5%

Outra informação do enunciado é que a soma percentual dos EUA e do Brasil continua sendo de 88%, mas se os EUA produziram apenas 22,5%, então o Brasil deve produzir 88 - 22,5 = 65,5%

REGRA de TRÊS:

4.10¹⁰ -------- 100%

y --------- 65,5% .:. y = 2,62.10¹⁰ litros

Antes o Brasil produzia 43% do total mundial, ou seja, 0,43*4.10¹⁰= 1,72.10¹⁰

Portanto, o aumento foi de:

$frac{2,62cdot 10^{10}-1,72cdot10^{10}}{1,72cdot10^{10}}=0,523$

Ou seja, 52,3%

Questão 10775

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