Questão 67763

VUNESP 2021

Matemática

(VUNESP) Se p natural maior que 1 não divisível nem por 2 e nem por 3, então $p^2-1$ é divisível por:

A

18.

B

24

C

36.

D

9

E

27.

Gabarito:

24

Resolução:

1) Se p não é divísivel por 2, então p é ímpar.

2) Se p não é divisível por 3, então $p=3k+1$ ou $p=3k+2$ , em que $k$ é um natural desconhecido.

Se $k$ for um natural ímpar, $3k+1$ não é ímpar, então p seria $3k+2$ .

Da mesma forma, se $k$ for um número par, $3k+2$ não é ímpar, então p seria $3k+1$ .

3) Vamos analisar os dois casos possíveis:

• $p=3k+2$ , $k$ ímpar.

$p^2-1=(3k+2)^2-1$

$p^2-1=9k^2+12k+3$

$p^2-1=3(3k^2+4k+1)$

Considerando que $k$ é ímpar: $k=2b+1$

$p^2-1=3[3(2b+1)^2+4(2b+1)+1]$

$p^2-1=3[3(4b^2+4b+1)+4(2b+1)+1]$

$p^2-1=3[12b^2+12b+3+8b+4+1]$

$p^2-1=3[12b^2+20b+8]$

$p^2-1=3cdot 4[3b^2+5b+2]$

$p^2-1=12[3b^2+5b+2]$

Como $3b^2+5b+2$ é par, não importando $b$ , temos que $p^2-1=12cdot2m=24m$ , que é divisível por 24.

• $p=3k+1$ , $k$ par.

$p^2-1=(3k+1)^2-1$

$p^2-1=9k^2+6k$

$p^2-1=3(3k^2+2k)$

Considerando que $k$ é par: $k=2b$

$p^2-1=3[3(2b)^2+2(2b)]$

$p^2-1=3[3cdot 4b^2+4b]$

$p^2-1=3cdot 4[3b^2+b]$

Como $3b^2+b$ é par, não importando $b$ , temos que $p^2-1=12cdot2m=24m$ , que é divisível por 24.

Alternativa correta é Letra B.

Questões relacionadas

Questão 67800

(VUNESP - 2021) Damião tem dois canos de cobre de comprimentos diferentes. Sabe-se que o comprimento de um deles é igual a 3/5 do comprimento do outro, e que a soma dos comprimentos...

Questão 67814

(VUNESP - 2021) Juvenal pagou 4/9 do valor total da compra de uma geladeira, no ato da compra, e parcelou o restante, sem acréscimos. Sabendo-se que R$ 1.350,00 representam 3/7 do valor pa...