Questão 8

UNICAMP 2022

Matemática

(UNICAMP - 2022 - 2ª fase)

Por volta de 1845, o matemático belga Pierre Verhulst começou a estudar um tipo de função que hoje é conhecida como função logística. Originalmente utilizada para modelar problemas envolvendo crescimento populacional, atualmente tem muitas outras aplicações em ecologia, biomatemática, sociologia e ciências políticas. Uma função logística pode ser definida por

$f(x ) = frac {L}{1+2^{-k(x-x_0)}} , x epsilon mathbb{R},$

em que $k > 0, L > 0$ e $x_0 epsilon mathbb{R}$

a) Seja $f^{-1}$ a função inversa de 𝑓. Determine a expressão e o domínio de $f^{-1}$ .

b) O gráfico abaixo é de uma função logística com 𝐿 = 10. Determine os valores de $x_ 0$ e 𝑘.

Gabarito:

Resolução:

a) Temos $f(x) = frac{L}{1+2^{-k(x-x_0)}}$

Realizando a inversa:

$x = frac{L}{1+2^{-k(f^{-1}(x)-x_0)}}$

Note que $x_0$ é uma constante, logo não é substituido pois é como se subtraíssemos a função de um número qualquer.

$1+2^{-k(f^{-1}(x)-x_0)} = frac{L}{x}$

$2^{-k(f^{-1}(x)-x_0)} = frac{L}{x}-1$

$log_2(2^{-k(f^{-1}(x)-x_0)}) = log_2(frac{L}{x}-1)$

$-k(f^{-1}(x)-x_0) = log_2(frac{L}{x}-1)$

$-kcdot f^{-1}(x)+ kcdot x_0 = log_2(frac{L}{x}-1)$

$-kcdot f^{-1}(x) = log_2(frac{L}{x}-1)-kcdot x_0$

$f^{-1}(x) = frac{log_2(frac{L}{x}-1)-kcdot x_0}{-k}$

$f^{-1}(x) = x_0 - frac{log_2(frac{L}{x}-1)}{k}$

Que tem como condição de existência $k eq 0$ , já estabelecido no enunciado e $frac{L}{x} - 1 > 0 Rightarrow L - x > 0 Rightarrow x < L$ .

b)

$f(x ) = frac {L}{1+2^{-k(x-x_0)}}$

$f(x ) = frac {10}{1+2^{-k(x-x_0)}}$

Podemos substituir os valores em dois pontos bem definido para construir um sistema, para assim encontrar $x_0$ e $k$ , como (0, 2) e (2, 5).

$2 = frac {10}{1+2^{-k(0-x_0)}}$

$2 = frac {10}{1+2^{x_0 cdot k}}$

$2cdot (1+2^{x_0 cdot k}) = 10$

$2+2^{x_0 cdot k+1} = 10$

$2^{x_0 cdot k+1} = 8$

$2^{x_0 cdot k+1} = 2^3$

$x_0 cdot k+1 = 3$

$x_0 cdot k = 2$

E no ponto (2, 5):

$5 = frac{10}{1+2^{-k(2-x_0)}}$

$5 = frac{10}{1+2^{-2k+kcdot x_0}}$

Substituindo o que já encontramos:

$5 = frac{10}{1+2^{-2k+2}}$

$5 cdot (1+2^{-2k+2}) = 10$

$5+5cdot2^{-2k+2} = 10$

$5cdot2^{-2k+2} = 5$

$2^{-2k+2} = 1$

$2^{-2k+2} = 2^0$

$-2k+2 = 0$

$2k=2$

$k = 1$

E como sabemos que $x_0 cdot k = 2$ :

$x_0 cdot 1 = 2$

$x_0 = 2$ .

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