Questão 48

UNICAMP 2022

Matemática

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) Dados os números reais positivos a₁, a₂, ..., a_n, a média geométrica M destes termos é calculada por:

$M = sqrt[n]{a_{1}...a_{n}}$ .

A média geométrica de 1, 10, 100, … , 10²² é:

10¹¹.

10¹².

10¹³.

10¹⁴.

Gabarito:

10¹¹.

Resolução:

Pela definição de média geométrica precisamos calcular $sqrt[22]{1.10.100.....10^{22}}$

Escrevendo os termos em potências de 10 fica:

$sqrt[23]{10^{0}.10^{1}.....10^{22}}$

E os termos das potências de base 10 constituem um PA de razãao r = 1 e 23 termos, bastando realizar a soma destes:

$S_n = (a_1 + a_n)frac{n}{2}$

$S_n = (1+ 22)frac{22}{2}$

$S_n = 11.23$

Basta tirarmos a raíz:

$sqrt[23]{10^{11.23}}$

$10^{11}$

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